紹介した論文

1. 0:19 1. Derivations of the idealization of the incidence module over the finitary incidence algebra 2610.24120v1
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   1本目は、エリカ・ザンカネッラ・フォルナロリさんとロジャー・エマニュエル・モラエス・ペゾットさんによる、「Derivations of the idealization of the incidence module over the finitary incidence algebra」、(有限入射代数上の入射加群のイデアル化の導分)、です。 この論文では、有限入射代数上の入射加群をイデアル化したときに、その導分がどのような構造を持っているかを詳しく分析しています。これまではベースとなる環が体である場合の研究が中心でしたが、今回はそれを任意の単位的可換環まで広げた点が非常に意欲的ですね。 アプローチとしては、導分の加群を４つの特別な部分加群の直和に分解するという手法を取っています。ここで、部分順序集合の連結成分といった構造的な性質がうまく利用されています。 特に、環がねじれのない状態だったり、連結成分に無限区間が含まれていたりすると、この構造がとてもシンプルになることが証明されました。また、すべての要素と比較可能な要素が存在する場合も、記述が簡単になります。 自然数の約数関係や実数の通常の順序といった具体例を用いて、理論がどのように適用されるかも示されています。抽象的な代数構造の話ですが、身近な順序関係に落とし込んで考えると、理論の説得力があって心地よいですね。
2. 1:56 2. Special identities of nonsymmetric bicommutative operations in associative algebra with an operator 2610.24555v1
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   2本目は、バウルジャン・サルタエフさんとアブディベク・イドゥルシュさんによる、「Special identities of nonsymmetric bicommutative operations in associative algebra with an operator」、「演算子を持つ結合代数における非対称双可換演算の特殊恒等式」、です。 この論文では、ある線形演算子を持つ結合代数で定義された二つの演算について、その恒等式を詳しく調べています。特に、基本的な定義からは導き出せない、いわゆる特殊恒等式があるかどうかに注目した研究です。 分析には、正規単項式や演算語といった手法を使い、さらにシングルトン不変量という概念を導入して、複雑な空間を小さな部分空間に分解して解析しています。 驚くべきことに、この特殊恒等式の集合は無限に存在することが分かりました。変数の数が四つ以上になると、それより少ない数では導けない新しい独立した恒等式が次々と現れるんです。二次オペラドの導来実現において、核が無限に生成される例を初めて示したということで、これはかなり大きな発見だと言えますね。 ちなみに、結合的な掛け算が可換である場合には、こうした特殊恒等式は現れないことも証明されています。
3. 3:26 3. $\frac{1}{2}$ derivations and biderivations of 3-dimensional nilpotent Lie-Yamaguti algebras 2610.24852v1
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   3本目は、ハッサン・ウバさんによる、「12 derivations and biderivations of 3-dimensional nilpotent Lie-Yamaguti algebras」、「3次元のべき零リー・ヤマグチ代数におけるデルタ導分と双導分」、です。 この研究では、リー代数とリー三項系という2つの概念を拡張した、3次元のべき零リー・ヤマグチ代数という代数系を扱っています。ここでは、デルタ導分と呼ばれる演算子や、その局所的なバージョン、さらには双導分について詳しく調べています。 著者のウバさんは、構造定数を用いて条件を連立一次方程式に変換し、行列形式で具体的に表現するという手法を取りました。 特に興味深いのは、非可換な代数の場合、局所デルタ導分の空間が普通のデルタ導分よりも厳密に大きいことが分かった点です。これは、単一の大域的な演算子では捉えきれない、局所的な写像が実際に存在することを示しています。さらに、非加法的な同次関数を用いることで、2局所デルタ導分でありながら大域的なデルタ導分ではない具体例を構築しています。 最後には、双導分について対称か交代的かという視点から完全に分類しました。代数的な構造をここまで緻密に解き明かそうとするアプローチには、強いこだわりを感じますね。
4. 5:01 4. A characterization of generalized derivations and biderivations on some simple algebras 2610.24868v1
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   4本目は、ハッサン・ウバさんによる、「A characterization of generalized derivations and biderivations on some simple algebras」、いくつかの単純代数における一般化導分と二導分の特徴付け、です。 この論文では、ちょっと特殊な２つの代数について、一般化導分と二導分という線形写像がどのような性質を持っているかを詳しく調べています。対象となっているのは、７次元の単純な反交換代数と、７次元の中心単純可換代数という２つのケースです。 もともと、代数的な恒等式と環の可換性の関係を調べるという研究の流れがあって、特に有限な恒等式の基底を持たない、一筋縄ではいかない単純代数に注目したみたいですね。分析には行列表示を用いていて、標準基底から導分になるための行列の形をきっちりと特定しています。 結果として、反交換代数の方では、局所的な一般化導分や２局所的な一般化導分は、すべて普通の一般化導分になることが分かりました。さらに、二導分に関しては、ゼロ写像以外のものは存在しないという、かなりすっきりした結論が出ています。可換代数の方でも同様に、一般化導分の行列パターンが特定され、二導分はすべてゼロになることが証明されました。 恒等式の基底が有限にないという複雑な性質を持つ代数に対して、こうした線形写像の正体を完全に突き止めた点に、徹底的なこだわりを感じますね。
5. 6:46 5. Metric preservation under approximate algebraic laws 2610.24927v1
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   5本目は、ダクシュ・パンデイさんによる、「Metric preservation under approximate algebraic laws」、「近似的な代数法則の下での距離の保存」、です。 この研究は、ある空間を代数的なルールに当てはめようとしたときに、もともと持っていた距離の情報がどれくらい残るかを探ったものです。実は、厳格すぎるルールを押し付けると、空間が一点に潰れてしまって、せっかくの距離の情報が消えてしまうという問題があるんです。そこで著者は、ルールにわずかな誤差を許容することで、距離をうまく保存する方法を考えました。 特に面白いのが結合律に関する分析です。完全に結合律を満たそうとすると、意味のある距離を持つ空間は存在できないことが証明されています。でも、少しだけ許容範囲を広げてあげると、点と点の区別が復活し、適切な条件さえあれば元の距離を完全に再現できるという結果が出ました。 ただ、この関係は常に安定しているわけではなく、ルールを厳格にしようとするほど、距離の変化が非常に激しくなるケースもあるようです。完璧さを求めすぎるとかえって不安定になるというのは、なんだか人生の教訓のようで考えさせられますね。構造的な制約と情報の保存の間にある緊張感を、数学的に鮮やかに描き出した論文でした。
6. 8:23 6. Rank and Border Rank Additivity of Complex Tensors with a Hankel Summand 2610.24982v1
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   6本目は、ジアンゼ・リさんによる、「Rank and Border Rank Additivity of Complex Tensors with a Hankel Summand」、「ハンケル成分を持つ複素テンソルのランクとボーダーランクの加法性」、です。 この論文では、テンソルのランクという概念について、直和をとったときにランクが単純に足し合わせられるかという加法性を研究しています。もともとストラッセンという人が、直和のランクは個々のランクの和になるはずだという予想を立てていたのですが、実は一般には成り立たないことが分かっています。そこでリさんは、複素ハンケルテンソルという特定の構造を持つテンソルに注目しました。 結果として、次数が三以上のとき、複素ハンケルテンソルのシーピーランクは、同じ次数のどんな複素テンソルと組み合わせても加法性が成り立つことを証明したんです。これはかなり強力な結果ですよね。さらに、ボーダーランクについても、複素ハンケルテンソル同士の直和であれば加法性が成り立つことを示しています。 証明には、アポラリティやフロベニウス代数、コズール平坦化といった高度な代数的手法を組み合わせていて、行列ベースのアプローチでボーダーランクの新しい証明方法を提示している点に、研究者の執念のようなものを感じます。構造化されたテンソルの振る舞いが少しずつ解明されていく過程は、本当にワクワクしますね。
7. 9:58 7. Classification of Hom--Lie structures on finite-dimensional simple Lie algebras 2610.25056v1
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   7本目は、ジャチェン・スンさん、チ・チャンさん、ハオラン・ジュさんによる、「Classification of Hom--Lie structures on finite-dimensional simple Lie algebras」、「有限次元単純リー代数上のホム・リー構造の分類」、です。 この論文では、有限次元の単純リー代数におけるホム・リー構造というものの分類に取り組んでいます。ホム・リー構造というのは、ヤコビ恒等式を少し書き換えた条件を満たす線形写像のことです。研究の大きな目的は、この構造が単なる定数倍の写像だけなのか、それとももっと複雑なものが存在するのかを突き止めることでした。 著者の皆さんは、代数の種類に合わせてアプローチを変えています。古典的な単純リー代数にはルート空間を用いた証明を使い、ザッセンハウス代数には分割冪代数の性質を利用しています。さらに、フィルター付きリー代数の理論を駆使して、結果を広げていくという手際の良さが光りますね。 最終的に、マクルーフさんとズスマノビッチさんが唱えた予想を証明することに成功しました。ほとんどの単純リー代数では、ホム・リー構造は定数倍に限られることが分かりましたが、例外が二つありました。三次元の単純リー代数の場合は、その空間の次元が六にもなり、ザッセンハウス代数の場合は分割冪代数から来る乗算作用素と一致するという結果になりました。単純な定数倍で終わらずに、特定のケースでだけ豊かな構造が現れるあたりに、数学的な深みを感じます。
8. 11:47 8. The four-dimensional Sklyanin algebras revisited 2610.25541v1
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   8本目は、エス・ポール・スミスさんによる、「The four-dimensional Sklyanin algebras revisited」、「四次元スキリャニン代数の再考」、です。 この論文では、四次元スキリャニン代数というものを、射影幾何学やテータ関数を使って分かりやすく解説しています。もともとこの代数にはいくつかの異なる定義があったのですが、著者は面倒な代数計算を避けて、もっと直感的な幾何学の視点からこれらを統一しようと考えました。 具体的には、射影空間の中に楕円曲線を楕円正規四次曲線として埋め込み、翻訳グラフや、その曲線を含む４つの特異な二次曲面の頂点を利用して代数を定義しています。ヤコビの加法公式をうまく使うことで、６つの二次関係式を導き出したんですね。 ここからが素晴らしいところで、この幾何学的な定義が、もともとのスキリャニン代数や、ファイゲンさんとオデスキーさんが定義したものと同型であることを証明しました。 さらに、点モジュールや直線モジュールの詳細な記述や、中心的な要素の公式まで導き出しています。以前の研究では係数の計算がかなり複雑だったそうですが、幾何学的な考察によって、もっとスマートに自己同型写像を導き出している点に、著者の強いこだわりを感じます。 最終的に、パラメータによって変化する関係空間こそが本質的なオブジェクトであることを示しており、非常に納得感のある構成になっています。
9. 13:29 9. 2-Local Derivations on Conformal Galilei Lie Algebras and Their Central Extensions 2610.25808v1
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   9本目は、ベクゾド・スルトンボエフさんとバフティヨール・ユスポフさんによる、「2-Local Derivations on Conformal Galilei Lie Algebras and Their Central Extensions」、「コンフォーマル・ガリレイ・リー代数とその中心拡大上の2局所導分」、です。 この論文では、コンフォーマル・ガリレイ・リー代数という構造における2局所導分について研究しています。2局所導分とは、どんな2つの要素を選んでも、その2点において一致する導分が存在するような写像のことです。面白いのは、最初から線形性や加法性が仮定されていない点ですね。つまり、単なる写像が、2点という限定的な条件だけで、結果的に全体の導分になるのかという、局所から大域への問題を解こうとしています。 著者たちは、中心拡大がない場合、質量中心拡大がある場合、そしてエキゾチック中心拡大がある場合の3つのパターンを詳しく調べました。不変双線形形式やシンプレクティック・アンカーといった高度な手法を駆使して証明を進めています。 結論として、どのケースにおいても、2局所導分はすべて普通の導分であることが分かりました。1点だけの条件では不十分なケースがあるのに、2点あれば十分だというこの結果には、条件の強さの絶妙なバランスを感じます。半単純ではないリー代数は扱いが難しいことで知られていますが、そこを根気強く分類して正解を導き出した執念が伝わってきます。
10. 15:13 10. Classification of all non-split central extensions of naturally graded 2-filiform non-Lie Leibniz algebras 2610.25820v1
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    10本目は、コビルジョン・アブドゥラスロフさんとジョビル・アダシェフさんによる、「Classification of all non-split central extensions of naturally graded 2-filiform non-Lie Leibniz algebras」(自然に次数付けられた2-フィリフォームな非リー・ライプニッツ代数のすべての非分裂中心拡大の分類)、です。 この論文では、複素数体上のライプニッツ代数という、リー代数をさらに一般化した構造を扱っています。特に、自然に次数付けられた2-フィリフォームな非リー・ライプニッツ代数の中心拡大について、その分類を詳しく調べています。これまで1次元の拡大については分かっていましたが、今回は2次元以上の拡大に焦点を当てているのがポイントです。 中心拡大という考え方は、量子力学や弦理論といった物理学の世界でもとても重要な役割を持っていますよね。著者の二人は、オートモーフィズム群が2次コホモロジー空間の部分空間にどのように作用するかという軌道を分析することで、同型類を網羅的に洗い出しました。 結果として、詳細な積表を含む分類リストが完成しています。特に、これまで体系的に分析されていなかった、自然に次数付けられていない2-フィリフォームなライプニッツ代数が見つかったというのは、研究の空白を埋める大きな成果だと思います。地道な計算の積み重ねで、未知の構造を白日の下にさらした快感がある論文ですね。
11. 16:52 11. Dual Reflection Groups from Solutions to the Yang--Baxter Equation 2610.26042v1
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    11本目は、サイモン・クロフォードさんによる、「Dual Reflection Groups from Solutions to the Yang--Baxter Equation」、(ヤン・バクスター方程式の解から得られる双対反射群)、です。 この研究は、非可換不変量論という分野で、多項式環の非可換版であるアルティン・シェルター正則代数に注目しています。著者のクロフォードさんは、ヤン・バクスター方程式の解を使って、デホルノイ商群という有限群を導入しました。そして、この群が双対反射群になることを証明したんです。これにより、不変量の部分環が量子多項式環になることが分かりました。さらに、ガージド要素の分解を使って、ねじれた超ポテンシャルやコスズル複体を具体的に書き下したり、カラビヤウになるための条件を明らかにしたりしています。既存のスクリャニン代数などの例をこの枠組みで一気に説明できる点も、とても鮮やかで驚きました。ヤン・バクスター構造を使うことで、複雑な非可換代数の正則性をとてもシンプルに証明できているのが、この論文の素晴らしい点です。
12. 18:11 12. A Non-linearizable Action of $S_3$ on Free Metabelian Lie and Associative Algebras 2610.26060v1
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    12本目は、アルティングル・ナウラズベコバさんとウアルバイ・ウミルバエフさんによる、「A Non-linearizable Action of S3 on Free Metabelian Lie and Associative Algebras」、(自由メタアベルリー代数および結合代数におけるエススリーの非線形化不可能な作用)、です。 この論文では、複素数体上のランク３の自由メタアベルリー代数と、自由メタアベル結合代数において、最小の非可換群である対称群エススリーの非線形化不可能な作用を構築しています。 もともと線形化問題というのは、代数上の群作用を座標変換によって線形にできるかという問いなのですが、多くの場合は線形化できることが知られていました。そこに、あえて自由メタアベル代数という枠組みで反例を見つけようとしたのが、この研究の非常に挑戦的なところです。 リー代数のケースでは、ヤコビ行列やフォックス微分を使って、対称群の条件を満たす自己同型写像を具体的に作り出しています。そして、不変量や半不変量を分析することで、もし線形化できるとしたら矛盾が生じることを証明しました。 結合代数のケースでも似た手法を使い、多項式代数における既知の非線形化不可能な作用を導き出すことで証明を完結させています。 当たり前だと思われがちな線形化に、あえて挑んで、できない例を提示した研究者の執念のようなものを感じますね。
13. 19:50 13. The two-step spectral locus of the octonionic structure operator 2610.26613v1
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    13本目は、セルゲイ・グリゴリアンさんによる、「The two-step spectral locus of the octonionic structure operator」、「オクトニオン構造演算子の二段階スペクトル軌跡」、です。 この論文では、オクトニオンという数を用いた演算子の性質について探究しています。特に、二つのオクトニオンを順番に右から掛け合わせるという、二段階の方程式を解こうとしています。オクトニオンは掛け算の順番を変えると結果が変わる非結合的な性質を持っているため、単純な一段階のスペクトル問題よりもずっと複雑になります。 著者はクォータニオンの枠組みを使って、演算子を固定セクター、逆積セクター、クォータニオン型セクターという三つの領域に分解して分析しました。その結果、実数の特異軌跡が、具体的な代数集合と球面の和として表されることを明らかにしています。 面白いのは、一段階の分析では全く見えてこない現象が見つかったことです。積やその逆が一段階のスペクトルに含まれていないのに、二段階では解を持つという、真に二段階のスペクトル点が存在することが証明されました。一段階の視点だけでは見落としてしまう隠れた構造を、この二段階の視点で見事に暴き出した点に、非常に強い説得力を感じます。
14. 21:24 14. Weighted Power Means on Upper Triangular Matrix Groups 2610.24821v1
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    14本目は、math.FAからのクロス投稿で、フアジュン・ファンさんによる、「Weighted Power Means on Upper Triangular Matrix Groups」(上三角行列群上の重み付きべき平均)、です。 この論文では、対角成分が正である実上三角行列のリー群における、重み付きべき平均について研究しています。幾何学的統計学への応用を見据えて、可解リー群のためのべき平均理論を構築しようという試みですね。 手法としては、行列の三角構造を最大限に活用しています。分割差分や解析的な行列関数、そしてパーレットの漸化式を用いることで、平均の各成分を上対角線に沿って順番に決定していくという方法をとっています。一つひとつ丁寧に計算を積み上げていく、職人さんのようなこだわりを感じるアプローチです。 結果として、この重み付きべき平均が一意に存在し、行列や重みに対して実解析的に依存することが証明されました。また、べきパラメータがゼロに近づくと、重み付きカーチャー平均に収束することも分かっています。 さらに、リー・トロッター公式を用いることで、単位行列付近での一次近似は単純な重み付き算術平均になることが示されました。一方で、二次の漸近展開まで広げると、ここで初めてべきパラメータの影響が現れます。カーチャー平均とログユークリッド平均の方が、べき平均よりも互いに近い挙動を示すという分析結果は、非常に興味深い視点だと思います。
15. 23:16 15. All totally real abelian number fields of class number one are Euclidean 2610.24900v1
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    15本目は、math.NTからのクロス投稿で、ハラルド・グロブナーさんによる、「All totally real abelian number fields of class number one are Euclidean」、「類数一のすべての全実アーベル数体はユークリッド的である」、です。 この論文は数論における長年の疑問に答えを出したものです。全実アーベル数体において、整数環が一意分解整域であることと、ユークリッド的であることが実は同じ意味だったというお話です。これまで、実二次体や三次元の拡大体の中には、一意分解整域だけれどユークリッド的ではない例外があるかもしれないと考えられてきました。もし一般化リーマン予想が正しければそんな例外はないはずだと言われていたのですが、今回の研究でついにそれが証明されました。 アプローチがとても力強いですね。ヘッケ指標に関する準リーマン予想の最新の成果や、ヘッケ関数の零点のない領域、そして有理素数の分布といった高度な道具を駆使しています。特に、ノルムが有理素数となる素イデアルの数について下限を導き出したところが、パズルの最後のピースを埋めるような見事な流れでした。ここにハーパーさんとマーティさんの既知の結果を組み合わせることで、条件なしでこの定理を完結させています。長年の懸案事項に終止符を打った、非常にスッキリとする結果だと思います。
16. 24:55 16. Derived equivalence classification of twisted and generalized multifold extensions of affine type 2610.25312v1
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    16本目は、math.RTからのクロス投稿で、アサシバ・ヒデトさんによる、「Derived equivalence classification of twisted and generalized multifold extensions of affine type」、「アフィン型のねじれおよび一般化多重拡大の導来同値分類」、です。 この論文では、アフィン型の区分的に遺伝的な代数から作られる、ねじれのある多重拡大という特殊な代数の分類に挑んでいます。もともと、見た目の構造を示す擬グラフだけでは、代数同士が本当に同じ性質を持っているか判断できないという問題がありました。そこで著者は、単なる形だけでなく、射の動きまで丁寧に追いかけることで、導来同値という深いレベルでの分類を実現しています。 特に、ナカヤマ関手の累乗がねじれを決定するという視点から、それを導来ピカール群の中の共役類として捉える手法は、パズルのピースがピタッとはまったような鮮やかさがありますね。最終的に、遺伝的な導来型や折り畳み数、そして共役類という三つの不変量で完全に分類できることを証明しました。 また、バランスケースやクロネッカーケースといった具体的な例で計算を行い、行列が対角化可能かどうかで分類が変わる様子を詳しく示しています。さらに、正規化定理を用いることで、より広い範囲の自己注入代数まで結果を広げており、非常に網羅的な研究になっています。
17. 26:32 17. Superschemes and supermanifolds with free $\mathbb{A}^{0|n}$-action 2610.25564v1
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    17本目は、math.AGからのクロス投稿で、マスオカ・アキラさんとオエ・タクヤさんによる、「Superschemes and supermanifolds with free A 0 n action」、「自由なエーゼロエヌ乗作用を持つスーパースキームとスーパー多様体」、です。 この論文では、スーパー次元がエヌである加法スーパー群が自由に作用するスーパースキームやスーパー多様体について研究しています。一番の目的は、こうした空間の商空間が存在し、それが特定の束として機能することを証明することです。 これまでの代数幾何学的な結果をよりシンプルに証明したい、あるいは解析的なスーパー多様体まで考えを広げたいという動機から書かれたそうですね。 手法としてはホップ代数的なアプローチを用いていて、ホップガロア拡大に注目しています。まずは次数付きのスーパー多様体で結果を示し、それを一般の場合へと広げていくという丁寧な構成になっています。 スーパースキームに関しては、自由な作用によって得られる商がトルソーになることを示しました。このトルソーはアフィン開集合の上では常に自明になりますし、第一チェックコホモロジーの奇数成分によって分類されることも分かりました。 また、解析的なスーパー多様体の場合、商がスーパー多様体として存在し、主束を形成することが証明されています。特に、ハウスドルフで第二可算な実スーパー多様体であれば、この主束は必ず自明になるという結果が出ています。 マニンの導入した射影空間やクィアスーパー群を使った具体的な計算例も盛り込まれていて、理論がどう適用されるかが分かりやすく提示されていますね。
18. 28:29 18. Principal bundles in supersymmetry 2610.25811v1
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    18本目は、math.DGからのクロス投稿で、マスオカ・アキラさんによる、「Principal bundles in supersymmetry」、「超対称性における主束」、です。 この論文は、超多様体上の超主束という構造について詳しく研究したものです。大きな目的は、超対称ゲージ場に厳密な数学的基礎を与えることですね。特に注目したいのは、超多様体上の超主束と、それに関連する普通の多様体上の主束が、実は一対一に対応していることを明らかにした点です。複雑な超の世界の話を、私たちが慣れ親しんでいる普通の主束の言葉で整理できるというのは、非常に心強い結果だと思います。その証明のために、超環付き空間や超リー群といった高度な道具を使い、さらにバッチェラーの定理を拡張した等変バージョンを導き出すなど、かなり緻密な議論が展開されています。実超多様体において超主束が常に分裂するという結論を導いたところには、物理的な直感を数学的に完璧に裏付けようとする、著者の並々ならぬこだわりが感じられます。最後には、超リー群の商として作られる同次超多様体への応用まで網羅されており、非常に完成度の高い内容になっています。
19. 29:59 19. New Maximum Hermitian $d$-Codes and New Invariants from Skew Polynomial Rings 2610.26048v1
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    最後は、cs.ITからのクロス投稿で、パオロ・サントナスタソさんとユエ・ジョウさんによる、「New Maximum Hermitian d-Codes and New Invariants from Skew Polynomial Rings」、(スキュー多項式環による新しい最大エルミートディーコードと新しい不変量)、です。 この論文では、最大加法エルミートランク計量符号という、かなり専門的な符号の構成について研究しています。特に、符号の長さと最小距離がどちらも偶数である場合の存在問題という、未解決の課題に挑んでいます。 アプローチがとてもユニークで、スキュー多項式環を使って中心単純代数を構築し、そこにユニタリ対合を導入することで、エルミート行列の空間を代数の対称部分として表現しています。この手法によって、あらゆる許容されるパラメータに対して一貫した構成法を確立し、理論的な空白を埋めることに成功しました。 さらに、これらの符号が互いに等価かどうかを判定するために、二つの新しい不変量を導入しています。一つはスカラー体、そしてもう一つは制御理論で使われるリアプノフ型演算子から導いたリアプノフ不変量です。制御理論の考え方を符号論に持ち込んでくるあたりに、著者の柔軟な発想を感じてワクワクしますね。 結果として、すべてのパラメータで最大加法エルミート符号が存在することが証明されました。しかも、これらの符号は従来の構成法とは異なるものが多く、最適解が決して唯一ではないことが分かりました。膨大な数の異なる符号が存在するという結論には、圧倒されます。